로켓의 이동을 기록하는 방법
로켓 발사의 주된 목적은 데이터를 수집하는 것이다. 특히 로켓의 이동 경로와 높이를 측정하기 위해 가속도 센서를 활용하는데, MPU9250 등 가속도 센서로 측정한 값은 로켓이 나아가며 기울어지는데, 이것에 대한 보정 과정이 필요할 것 같아서 이를 구하기 위해 탐구를 진행했다.
삼각함수 덧셈정리, 극과표계 위키피디아 p’을 계산하는 과정에서 극좌표계와 삼각함수 덧셈정리의 개념을 사용하는데, 이것들을 계산하기 위해서 사용하였다.
벡터는 크기와 방향을 동시에 가지는 수학적 개념으로, 두 벡터의 덧셈, 실수배, 내적, 등의 연산을 통해 물리학, 공학 등에서 힘, 속도, 위치, 방향 등의 물리적 현상을 계산하고 표현하는 데 사용된다. 특히 두 벡터 사이의 각이 90인 경우, 이들은 수직 관계에 놓여 있으며 내적은 항상 0이 되어 이를 수학적으로 증명할 수 있고, 외적은 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 새로운 벡터를 생성하며 그 크기는 벡터 크기의 곱으로 나타난다. 이러한 수직 벡터들은 선형 독립성을 가지며, 힘의 분해, 직각 운동, 평면 정의 등 다양한 응용에서 중요한 역할을 한다.
MPU9250 가속도계의 센서는 9축 가속도계로, xyz, 롤 피치 요, xyz자기장 센서 데이터를 제공한다. 여기에서 우리가 봐야 할 것은 xyz가속도와 롤 피치 요축의 회전이다.
먼저 로켓이 롤 피치 요 축으로 회전하는것을 신경쓰지 말고 로켓이 받는 가속도의 백터합을 구해보자. xyz축은 각각에 대햐여 수직이므로 각각 값을 이용해 점 P(x축 가속도, y축 가속도, x축 가속도) 를 구할 수 있다. 하지만 여기에는 한가지 문제가 있는데, 바로 이 가속도 센서는 기본적으로 연직 아래 방향으로 1g만큼 가속도를 더 측정한다는 것이다. 이는 이 센서가 가속도를 측정하는 방식과 연관이 있는데, 바로 중력을 기준으로 센서값을 측정한다는 것이다. 단순하게 보면 우리가 구한 p에 y축에 1g만큼을 빼주면 될 것 같지만, 로켓의 롤 피치 요축으로 고려해야 한다.
이를 위해서 먼저 샘플링 속도를 정해줘야 한다. 가볍게 예시를 들기 위해 1hz로 잡으면, 1초동안 롤 피치 요축이 틀어진 만큼을 계산해서 P를 수정해줘야 한다. 이를 위해서 1초동안 읽어낸 센서데이터를 적분하여서 총 몇도를 회전하였는지를 구해주고 이를 바탕으로 P를 조정해준다.
점 P(x, y) 를 원점을 기준으로 θ 만큼 회전시킨 점 P'(x', y') 의 좌표는 삼각함수를 활용한 회전 변환 과정을 통해 구할 수 있다. 먼저, 점 P(x, y) 는 원점과의 거리 r 와 x축과 이루는 각 φ를 통해 극좌표로 표현할 수 있다.
$$ r = \sqrt{x^2 + y^2} , \cos\phi = \frac{x}{r} , \sin\phi = \frac{y}{r} $$
이다. 점 P(x, y) 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전하면, 새로운 각도는 φ + θ 가 된다. 회전 후 점 P'(x', y') 의 좌표는 극좌표에서
$$ x{\prime} = r \cos(\phi + \theta) , y{\prime} = r \sin(\phi + \theta) $$
로 나타낼 수 있다. 여기서 삼각함수의 각도 합 공식
$$ \footnotesize \cos(\phi + \theta) = \cos\phi \cos\theta - \sin\phi \sin\theta 와 \\\sin(\phi + \theta) = \sin\phi \cos\theta + \cos\phi \sin\theta 를 적용하면,\\ x{\prime} = r (\cos\phi \cos\theta - \sin\phi \sin\theta) , \\ y{\prime} = r (\sin\phi \cos\theta + \cos\phi \sin\theta) $$
가 된다. 마지막으로
$$ \cos\phi = \frac{x}{r} , \sin\phi = \frac{y}{r} $$